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科技虎嗅·返朴··AI 生成
感谢阿根廷奉献了一场乏味球赛，数学界清除了最危险的诱惑
Anthropic研究员Levent Alpöge在观看世界杯决赛时，借助AI工具Fable 5找到了一个反例，证明代数几何中著名的雅可比猜想在三维及以上空间不成立。该反例极其简洁，只需微积分基础即可验证，颠覆了数学界长期以来的核心信念。文章详细介绍了反例的构造、雅可比猜想的历史背景，以及它与数学家张益唐学术生涯的关联，展示了AI在解决重大数学问题上的潜力。原文 ↗
核心观点
- ▍借助AI工具Fable 5，研究者Levent Alpöge找到了一个反例，证明雅可比猜想在三维及以上维度的复空间多项式映射中不成立。
- ▍该反例极其简洁，由三个多项式构成，其雅可比行列式为常数-2，但映射非单射，因此全局不可逆，任何人都能轻松验证。
- 01反例的具体输入：点A=(0,0,-1/4), B=(1,-3/2,13/2), C=(-1,3/2,13/2) 代入映射F后，均得到相同输出(-1/4,0,0)，证明其非单射。
- 02通过Wolfram Alpha计算，该映射的雅可比行列式确认为-2，一个非零常数，满足雅可比猜想的前提条件。
- 03Levent Alpöge并非“门外汉”，他是哈佛大学学者协会的青年研究员，博士导师是菲尔兹奖得主Manjul Bhargava，在数论和算术统计领域有重要工作。
- 04AI的思考过程涉及将三次多项式分解为直线因子和二次因子，从而构造出带有额外结构的三重覆盖空间，这类似于代数几何教科书中的习题思路。
- 05该猜想是错误证明的重灾区，历史上多位知名数学家（如Beniamino Segre、Wolfgang Gröbner、Shreeram Abhyankar）曾提交错误证明。
- 06菲尔兹奖得主Timothy Gowers评价此发现是LLM首次解决了一个他久仰大名但非研究领域内的重大问题。
反方 / 局限
- — 文章指出，此次证伪的是三维及更高维的雅可比猜想，而二维情况下的猜想由于莫宗坚等人的工作，很可能仍然成立。
- — 文章提到，张益唐的博士论文研究的是二维雅可比猜想下的函数域扩张次数，与此次被证伪的三维及以上情况不同，其论文最终通过了答辩。
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